Problems and Solutions of Basic Limits:
Here we will discuss various basic problems of limits with solutions.
Example 1: Evaluate $\lim\limits_{x \to 0} (\sin x + \cos x)$
Solution:
$\lim\limits_{x \to 0} (\sin x +\cos x)$
$=\lim\limits_{x \to 0} \sin x + \lim\limits_{x \to 0}\cos x$
$=\sin 0 + \cos 0$
$=0+1$
$=1.$
Example 2: Evaluate $\lim\limits_{x \to 1} \sin(3x^2-2x-1)$
Solution:
$\lim\limits_{x \to 1} \sin(3x^2-2x-1)$
$=\sin[\lim\limits_{x \to 1}(3x^2-2x-1)]$
$=\sin[\lim\limits_{x \to 1}3x^2 -\lim\limits_{x \to1} 2x – \lim\limits_{x \to 1}1]$
$=\sin[3 \cdot 1^2-2 \cdot 1-1]$
$=\sin 0=0.$
[Formula used: $\lim\limits_{x \to a}\sin[f(x)]=\sin[\lim\limits_{x \to a} f(x)]$]
Example 3: Evaluate $\lim\limits_{x \to 0} e^{2x^2-x+1}$
Solution:
$\lim\limits_{x \to 0} e^{2x^2-x+1}$
$=e^{\lim\limits_{x \to 0}(2x^2-x+1)}$
$=e^{[\lim\limits_{x \to 0} 2x^2-\lim\limits_{x \to 0}x+ \lim\limits_{x \to 0}1]}$
$=e^{2 \cdot 0^2-0+1}=e^1=e$
[Formula used: $\lim\limits_{x \to a}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x \to a} f(x)}$]
Example 4: Evaluate $\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$
Solution:
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^2-1}{x-1}$
$=\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}$
$=\lim\limits_{x \to 1} (x+1)$
$=1+1=2$
[Formula used: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$]
Example 5: Evaluate $\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x^3+8}{x+2}$
Solution:
$\lim\limits_{x \to -2} \dfrac{x^3+8}{x+2}$
$=\lim\limits_{x \to -2}\dfrac{x^3-(-2)^3}{x-(-2)}$
$=3 \cdot (-2)^{3-1}=12$
[Formula used: $\lim\limits_{x \to a}\dfrac{x^n-a^n}{x-a}=na^{n-1}$
In the above example, $a=-2$ and $n=3$]